投資信託のリターンが正規分布に従うのかをS&P500指数で検証

　投資のリターンとリクスを用いた将来の運用結果を推測する際に、リターンが正規分布であるならばという前提がつきます。

   先日職場の後輩から「本当に正規分布を前提をすることは正しいのですか？」と聞かれた際に、私は「そう考えるしか無い」と曖昧な答えしかできませんでした。

    今回はこの前提条件が適切かどうかについて、S＆P５００指数を使って検証してみました。

S＆P５００指数について

 「S&P500種指数（Standard and Poor's 500 Index）は、時価総額加重平均指数。全主要業種を代表する500銘柄で構成され、米国経済のパフォーマンスを表す。」とあります*1

S＆P５００指数の長期チャート

　長期チャートを見ると指数は１９９０年ごろから急激に上がっているように見えます。

　そして、２０００年ごろのITバブル崩壊と２００８年のリーマンショックによる落ち込みはインパクトのあるものとなっています。

　１９９０年以前は横ばいに見えますが、指数が小さいため指数が大きく伸びてもグラフ上では潰れてしまいわかりにくくなっています。

　次の項では暦年ごとのリターンを整理し、S＆P５００指数の凄さをみてみたいと思います。

（出典：https://finance.yahoo.com/）

S＆P５００の９０年分のリータンを整理

    今回は『私のインデックス』さんで配当込みの年次リターンデータが公表されていましたので、それを独自にグラフ化しています。

各年のリターン（ドルベース・配当込み）

　アメリカ株に投資する際の最適なインデックスがS＆P５００指数と考えていますが、結果としては、過去９０年間でマイナスが２１回、プラスが６９回となっています。勝率が７７％ととてつもない指数となっています。

　さらに３年連続のマイナスは２回しかなく、最後のマイナスが２００８年のリーマンショック時となり、２００９年以降は２０１６年まで連続してプラスの結果を残しています。

　１９２６年末の指数が１３.４９となっており、この時に投資した人が、それをほったらかしておいたとすると、９０年後の２０１６年末には７８,０９５と約５,８００倍になります。当然物価も相当上がっていますので純粋に５,８００倍とは言えませんが。

　このデータから、リターンとリスク（標準偏差）を求めると、

• リターン（平均値）＝１０.１％
• リスク（標準偏差）＝１９.９%

 となります。

　リスクとリターンのエクセルを使った求め方は、３分でわかる！リターンとリスクの計算方法 〜エクセルで計算編〜を参考にして下さい。

リターンのヒストグラム

　リータンの出現頻度をまとめると次のようになります。中央値が約１０%と９０年間の年率リターン１０.１％と大きく乖離しませんでした。

　平均値については約１２%と少し大きめで、最も頻度が多かったのが３０％〜３２％の７回と若干山の頂点が右にずれていると推測されます。

株式投資のリターンは正規分布となっているかの検証

　検証は「視覚的確認」と「法則による検定」により行います。

視覚的確認

　視覚的な確認は２通りやりました。

ヒストグラム確認

　下のグラフは先ほどのヒストグラムに平均１０.１、標準偏差１９.９の正規分布の曲線を追加したものです。

　グラフを見ると実際のほうが少し広く広がっていること、リーマンショックなどの急落時のマイナスデータが中心から離れた位置にポツポツと見えますが、概ね正規分布にある程度従っていることがうかがえます。

QQプロットによる確認

　QQプロットとは、実測値が正規分布に従う場合の期待値をY軸、実測値そのものをX軸にとった確率プロットになります。

　観測値を昇順に並べた順位からパーセンタイル（累積確率）を求め、正規分布の確率密度関数の逆関数を用いて期待値を予測する。

    プロットが一直線上に並べば、観測値は正規分布に従っていると考えられる。

（出典：正規Q-Qプロット | 統計用語集 | 統計WEBより）

　実際にS＆P５００指数のデータでQQプロットを作成しました。その結果プロットした青点はほぼ一直線に並んでいることがわかります。

　つまり、S&P５００指数のリターンは正規分布といえることが視覚的にいえます。

法則による検定

　視覚的な確認とは別に補足による検証を行います。まずは分布の歪みを示す歪度と尖度を、そしてそれを用いたジャック＝ベラ検定で正規分布の検証を行います。

歪度と尖度

　歪度（わいど）と尖度（せんど）はエクセルで簡単に求めることができます。

　歪度は「＝SKEW(データのセル範囲)」、尖度は「＝KURT(データセルの範囲)」　で求められます。

　SP５００指数の場合、歪度が-0.417、尖度が0.115となりました。

　つまり、歪度がマイナスなので、山の頂点が正規分布より若干右にシフトしていることになります。

　尖度はプラスなので、山の頂点が正規分布より若干尖っていることになります。

ジャック=ベラ検定

　最後に「歪度」と「尖度」を使ったジャック=ベラ検定です。。この検定は標本データが正規分布に従う「尖度」と「歪度」を有しているかを調べる適合度検定であり、次のように定義されます。

　JB＝n/6×（S^2+K^2/4)）

n：標本数、S：歪度、K：尖度　となります。一般にJBが６未満であれば、標本が正規分布であるといえます。

　S＆P５００のリターンについてジャックーベラ検定を行った結果は２.６５でした。つまり正規分布であることが確認できました。

まとめ

　株式投資のリターンを正規分布という前提でリターンとリスク（標準偏差）σを用いて将来を予測することは適切な手法であることが検証できました。

　投資運用を行うにあたり、統計学の素晴らしさ大切さを誰もが認識できる本は「統計学が最強の学問」がオススメです。 

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*1:https://www.bloomberg.co.jp/quote/SPX:IND